From the everyday to the abstract: spinner and symmetry groups
Ricardo Pérez Martínez
Universidad Autónoma de Coahuila, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Edificio “A”, Unidad Camporredondo s/n, C.P. 25020, Saltillo, Coahuila, México
Correspondencia para autor: Ricardo Pérez Martínez
Universidad Autónoma de Coahuila
Correo electrónico: ricardo.perezmartinez@uadec.edu.mx
https://orcid.org/0000-0003-2923-4970
CienciAcierta #74
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Resumen
Las propiedades de invariancia o de simetría de un sistema son estudiadas por la teoría de grupos, la cual tiene importantes aplicaciones en áreas como la física. En este trabajo mostramos que la estructura abstracta de un grupo puede ser obtenida al considerar las transformaciones de invariancia del spinner, un objeto cotidiano y de entretenimiento para algunas personas, cuya geometría triangular equilátera nos invita a analizar sus propiedades de simetría bajo rotaciones de 120º respecto al centro del triángulo, y reflexiones con respecto a un plano espejo o eje de simetría del triángulo. Mediante tales operaciones obtenemos el grupo de simetría del spinner, el cual corresponde al grupo diédrico de seis elementos . Mostramos que otra manera de construir al grupo es a través de un producto no trivial llamado el producto semidirecto de los grupos cíclicos y , los cuales son los subgrupos de asociados a las reflexiones y rotaciones de simetría del spinner, respectivamente, mostrando así una conexión entre lo cotidiano con lo abstracto.
Palabras clave: grupos, transformaciones de simetría, spinner, geometría triangular
Abstract
The properties of invariance or symmetry of a system are studied by group theory, which has important applications in areas such as physics. In this work we show that the abstract structure of a group can be obtained by considering the invariance transformations of the spinner, an everyday and entertainment object for some people, whose equilateral triangular geometry invites us to analyze its symmetry properties under 120º rotations with respect to to the center of the triangle, and reflections with respect to a mirror plane or axis of symmetry of the triangle. Through such operations we obtain the symmetry group of the spinner, which corresponds to the dihedral group of six elements . We show that another way to build the group is through a non-trivial product called the semidirect product of the cyclic groups and , which are the subgroups of associated with the symmetry reflections and rotations of the spinner, respectively, showing thus a connection between the everyday with the abstract.
Key words: groups, symmetry transformations, spinner, triangular geometry
